张国治耿梁燕
(*生产建设兵团第二中学，)
著名数学家陈景润先生在谈起数学解题时,曾说过“题有千变,贵在有根”.以题根方式展开教学,旨在抓住解题思维入口,通过题根的变式拓展探求不同的解法,帮助学生理解问题内涵,总结归纳解题.本文以一道竞赛题为例,探源溯流,给出一类竞赛题、高考题命题的题根,探索一种高效学习数学的方法,敬请同行指正.[1]
题根(年全国高中数学联赛湖南省预赛题)[2]已知a、b0且a≠b.
(1)求证:
(2)如果a、b是函数的两个零点,求证:abe2.
证明(1)不妨设ab0,先证即
设只要证令则在(1,+∞)单调增,得h(x)h(1)=0,于是
再证
由等价于设构造函数同理可证g(x)0，于是
综上，可知
由此易见f(x)在(0，)单调增，在(,+∞)单调减.
由对称性,不妨设ab0,则依题意可得0ba.由条件知且故即由对数均值不等式得
又因为所以abe2.
评注第(1)问为对数平均不等式，在近几年的竞赛、高考中应用非常广泛，可简化问题解答过程，开辟了不等式证明的新路.下面举例说明该题根在竞赛、高考题中的应用，帮助大家进一步谙熟此类问题的命题过程.
例1(年全国高中数学联赛湖南省预赛题)[3]已知函数
(1)若m=-2时,求f(x)的所有零点;
(2)若f(x)有两个极值点x1、x2,且x1x2，求证:x1x2e2.
解(1)略.
(2)f′(x)=lnx-mx,依题意，有可得lnx1-lnx2=m(x1-x2),即由对数均值不等式得即.
于是lnx1x2=lnx1+lnx2=m(x1+x2)2,得x1x2e2.
评注不难发现,例2第(2)问是题根例1第(2)问的一般情况.事实上,由对数均值不等式得即故必有
推论1一般地,若x1、x2是函数的两个零点,则
例2(年全国高中数学联赛黑龙江省预赛题)[3]已知函数
(1)若f(x)在(2,f(2))处的切线与直线x-y=0平行,求实数n的值;
(2)试讨论f(x)在[1,+∞)上的最大值;
(3)若n=1时,f(x)恰有两个零点x1、x2(0x1x2),求证:x1+x22.
解(1)、(2)略.
(3)由f(x1)=f(x2)=0,可得于是即由对数均值不等式得解得x1x21.
所以
例3(年全国高中数学联赛甘肃省预赛题)[3]设函数
(1)讨论f(x)的单调区间；
通过上面的分析，《诗经》中的食谱可谓是一道亮丽的风景线，周代的食物烹饪方法、饮食结构等已经比较丰富了，也折射出了中国饮食有着渊远流长、博大精深的文明历史！
解(1)当时，f(x)在(0,+∞)单调增；当时，f(x)在(0,x1)、(x2,+∞)单调增，在(x1,x2)单调减.其中x1、x2是x2-ax+2=0的两根，且x1x2.(过程略)
(2)由(1)可知因为所以又由于可知x1x2=2,x1+x2=a，于是
若存在a使得k=2-a,则由对数均值不等式，得即与矛盾.故不存在a使得k=2-a.
评注事实上,由对数均值不等式，可得所以故所以
例4(年全国高中数学联赛福建省预赛题)[3]已知f(x)=ex-mx.
(1)当x0时,不等式(x-2)f(x)+mx2+20恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若x1、x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x22.
分析竞赛组提供的解答是利用第(1)问的结论证明第(2)问,思路并不自然.若联想到对数均值不等式，便有如下别具一格的解答，且第(2)问的证明不依赖与第(1)问.
解(1)略.
(2)证法1f′(x)=ex-m,若m≤0,则f′(x)0,f(x)在(-∞,+∞)单调增,至多有一个零点，不合题意.若m0,易见f(x)在(-∞,lnm)单调减,在(lnm,+∞)单调增,故f(x)min=f(lnm)=m(1-lnm).又x→-∞时,f(x)→+∞；x→+∞时,f(x)→+∞,故当f(lnm)=m(1-lnm)0，即me时，f(x)有两个不同的零点x1、x2.不妨设x1x2,由f(0)=10,f(lnm)0,结合零点的存在性定理知0x1lnmx2.
由f(x1)=f(x2)=0,得令y1=ex1,y2=ex2，则lny1=x1,lny2=x2,故由对数均值不等式，得故得x1+x2=lny1+lny22.
证法2依题意，方程ex=mx有两个实根x1、x2.令ex=t，则有两个零点t1、t2，其中t1=ex1,t2=ex2.由例1第(2)证明，可得函数的两个零点必须满足e2t1t2m2,即e2ex1+x2m2,故2x1+x22lnm,且必须有me.
评注本题中巧妙的换元,使得问题迅速获解,但关键是需要明确到函数存在两个零点的条件.本文所提供的两种解法均不同于标准解答,且解法都优于标准解答，同时还可得到如下推广：
推论2若x1、x2是f(x)=ex-mx(me)的两个零点,则2x1+x22lnm.
变式(年全国高考题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1、x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x22.
由平均不等式不难获得问题(2)的证明，限于篇幅，这里不再赘述.请读者自行验证.
例5(年全国高考题)设函数
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1、x2,证明:
解(1)略.
(2)由(1)知,f(x)存在极值点当且仅当a2.由于f(x)有两个极值点x1、x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,x1+x2=a.
不妨设x1x2,则由对数均值不等式，得即故得
总之,研究“题根”对教学、命题和解题都有深远的意义,变幻多端的数学题目犹如葱郁繁密的树叶．看似难以捉摸,实则息息相关,故而在研究问题时应拨开层层枝叶,寻其根源.“题根”的这种由基础到综合、由简单到复杂的教学方式既夯实了基础,符合“回归题根”的学习理念,也满足了不同学生的认知需求,为学生的个性化发展提供了滋养的土壤.[1]
参考文献
[1]张国治，程似锦，于雯青，李浩玉.探源溯流——走进数学“寻根”之旅[J].数学教学,(2):13-17.[2]中国数学会普及工作委员会及数学奥林匹克委员会.高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)[M].上海:华东师范大学出版社,.1.[3]中国数学会普及工作委员会及数学奥林匹克委员会.高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)[M].上海:华东师范大学出版社,.1.预览时标签不可点收录于话题#个上一篇下一篇